Дано:
функция f(x) = (5x^2 + 9x) / (6 – 7x^2)
Нужно найти предел этой функции при x стремящемся к определенному значению, не используя правило Лопиталя.
Решение:
1. Начнем с упрощения функции. Мы можем применить распределительный закон к числителю:
f(x) = 5x^2 / (6 – 7x^2) + 9x / (6 – 7x^2)
2. Затем разложим числитель и знаменатель на множители:
f(x) = 5x^2 / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)] + 9x / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)]
3. Чтобы избежать деления на ноль, нам нужно проверить, существуют ли значения x, при которых знаменатель равен нулю.
Знаменатель равен нулю, когда √6 + √7x = 0 или √6 – √7x = 0. Решив эти уравнения, мы получаем:
√6 + √7x = 0 => √7x = -√6 => 7x = 6 => x = 6/7
√6 – √7x = 0 => √7x = √6 => 7x = 6 => x = 6/7
Обратите внимание, что значение x = 6/7 обеспечивает нам для функции два значения, при которых знаменатель равен нулю.
4. Теперь мы можем сократить числители и знаменатели функции, получив:
f(x) = (5x^2) / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)] + (9x) / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)]
= (5x^2 + 9x) / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)]
= (x(5x + 9)) / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)]
5. Теперь у нас есть упрощенная функция, и мы можем вычислить предел, подставляя x = 6/7:
lim(x→6/7) f(x) = lim(x→6/7) [(x(5x + 9)) / [(√6 + √7x)(√6 – √7x)]]
= [(6/7)(5(6/7) + 9)] / [(√6 + √7(6/7))(√6 – √7(6/7))]
6. Мы получили выражение для предела функции, и теперь можем вычислить его численное значение.
lim(x→6/7) f(x) = [(6/7)(5(6/7) + 9)] / [(√6 + √7(6/7))(√6 – √7(6/7))]
= [(6/7)(30/7 + 9)] / [(√6 + √6)(√6 – √6)]
= [(6/7)(30/7 + 9)] / [2√6 * 0]
= неопределенный результат
Обратите внимание, что мы получили неопределенный результат, так как в знаменателе получили 0. Это означает, что предел функции не существует при x = 6/7.
Итак, предел функции f(x) = (5x^2 + 9x) / (6 – 7x^2) не существует при x = 6/7.