Для нахождения производной n-порядка функции y=(4+15x)/(5x+1) воспользуемся формулой Лейбница.
1. Сначала найдем первую производную функции y. Для этого применим правило дифференцирования частного.
y’ = ((5x+1) * 15 – (4+15x) * 5) / (5x+1)^2
2. Упростим выражение в числителе:
y’ = (75x + 15 – 20 – 75x) / (5x+1)^2
= (75x – 5) / (5x+1)^2
3. Теперь найдем вторую производную функции y. Снова применим правило дифференцирования частного.
y” = ((5x+1)^2 * (75) – (75x – 5) * 2(5x+1) * 5) / (5x+1)^4
= (75(5x+1)^2 – 10(75x-5)(5x+1)) / (5x+1)^4
= (75(25x^2 + 10x + 1) – 10(375x^2 – 10x – 25)) / (5x+1)^4
= (1875x^2 + 750x + 75 – 3750x^2 + 100x + 250) / (5x+1)^4
= (-1875x^2 + 850x + 325) / (5x+1)^4
4. Продолжим нахождение производной n-порядка, применяя процесс дифференцирования по формуле Лейбница.
y”’ = ((5x+1)^4 * (-1875) – (-1875x^2 + 850x + 325) * 4(5x+1)^3 * 5) / (5x+1)^8
= (-1875(5x+1)^4 + 250(5x+1)(-1875x^2 + 850x + 325)) / (5x+1)^8
= (-1875(25x^4 + 20x^3 + 6x^2 + x) + 250(9375x^3 + 4250x^2 + 1625x – 1875x^2 + 850x + 325)) / (5x+1)^8
= (-46875x^4 – 37500x^3 – 11250x^2 – 1875x + 46875x^3 + 21250x^2 + 8125x – 9375x^2 + 4250x + 1625) / (5x+1)^8
= (-37500x^4 + 10125x^3 + 21500x^2 – 4250x + 68950) / (5x+1)^8
Таким образом, вторая производная функции y равна (-1875x^2 + 850x + 325) / (5x+1)^4, а третья производная равна (-37500x^4 + 10125x^3 + 21500x^2 – 4250x + 68950) / (5x+1)^8.