Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0. y=e^sin2x, x0 = 0.

Для нахождения уравнений касательной и нормали к графику функции в точке (x0, y0) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = e^sin2x. Для этого воспользуемся цепным правилом и производной сложной функции:

dy/dx = d(e^sin2x)/dx = e^sin2x * d(sin2x)/dx.

2. Найдем производную sin2x, используя производную синуса:

d(sin2x)/dx = 2cos(2x).

3. Подставим полученное значение в первую производную:

dy/dx = e^sin2x * 2cos(2x).

4. Найдем значение производной в точке x0. Подставим x0 = 0 в полученное уравнение:

dy/dx |x=x0 = e^sin2x0 * 2cos(2×0) = e^sin0 * 2cos0 = e^0 * 2 * 1 = 2.

Таким образом, значение производной в точке x0 = 0 равно 2.

5. Уравнение касательной к графику функции в точке (x0, y0) имеет вид:

y – y0 = dy/dx |x=x0 * (x – x0),

где (x0, y0) – координаты точки на графике, а dy/dx |x=x0 – значение производной в этой точке.

Подставим значения и получим уравнение касательной:

y – y0 = 2 * (x – x0).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке (0, e^sin(0)) имеет вид:

y – e^sin(0) = 2x.

6. Уравнение нормали к графику функции в точке (x0, y0) можно получить, заменив значение производной dy/dx |x=x0 на -1/dy/dx |x=x0 в уравнении касательной.

Подставим это значение и получим уравнение нормали:

y – y0 = -1/(dy/dx |x=x0) * (x – x0).

Подставим значения и получим уравнение нормали:

y – e^sin(0) = -1/2 * (x – 0).

Таким образом, уравнение нормали к графику функции в точке (0, e^sin(0)) имеет вид:

y – e^sin(0) = -1/2 * x.