Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(-4, 1, -1) и Q(2, -4, -3), а также перпендикулярной заданной плоскости 5x – 4y – 3z + 2 = 0, воспользуемся следующими шагами:
1. Найдем направляющий вектор для плоскости, который будет перпендикулярен заданной плоскости. Для этого возьмем коэффициенты перед x, y и z в уравнении плоскости: a = 5, b = -4, c = -3.
2. Составим вектор из координат точки P и Q: $vec{PQ} = (2 – (-4), -4 – 1, -3 – (-1)) = (6, -5, -2)$.
3. Найдем векторное произведение направляющего вектора плоскости (a, b, c) и вектора $vec{PQ}$: $vec{n} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} 5 & -4 & -3 6 & -5 & -2 end{vmatrix} = (-19, -3, -1)$.
4. Используя найденный вектор $vec{n}$ и координаты точки P, составим уравнение плоскости следующим образом:
-19(x + 4) – 3(y – 1) – 1(z + 1) = 0
-19x – 76 – 3y + 3 – z – 1 = 0
-19x – 3y – z – 74 = 0
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки P(-4, 1, -1) и Q(2, -4, -3) и перпендикулярной заданной плоскости 5x – 4y – 3z + 2 = 0, имеет вид:
-19x – 3y – z – 74 = 0.