На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения этой задачи нужно определить законы распределения случайных величин X и Y, а затем найти математическое ожидание, дисперсию и коэффициент корреляции.
Шаг 1: Закон распределения случайной величины X.
Из таблицы видно, что получены значения X: 17, 27, 37. Чтобы определить закон распределения, проверим, являются ли суммы вероятностей по каждому значению X равными 1:
17: 0.21 + 0.23 = 0.44
27: 0.08 + 0.06 = 0.14
37: 0.25 + 0.11 + 0.27 = 0.63
Суммы вероятностей для значений X не равны 1, поэтому нормализуем вероятности для каждого значения X, разделив их на сумму вероятностей для каждого значения:
17: 0.21 / 0.44 ≈ 0.477
27: 0.08 / 0.14 ≈ 0.571
37: 0.25 / 0.63 ≈ 0.397
Таким образом, закон распределения случайной величины X примерно равен: X ~ {0.477, 0.571, 0.397}.
Шаг 2: Закон распределения случайной величины Y.
Аналогично, проверим суммы вероятностей для каждого значения Y:
21: 0.23
22: 0.08 + 0.06 ≈ 0.14
37: 0.25 + 0.11 ≈ 0.36
Суммы вероятностей для значений Y равны 1, поэтому закон распределения случайной величины Y уже нормализован: Y ~ {0.23, 0.14, 0.36}.
Шаг 3: Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины X (E(X)) можно найти, умножая каждое значение X на соответствующую вероятность их получения, и сложив полученные значения:
E(X) = 17 * 0.477 + 27 * 0.571 + 37 * 0.397 ≈ 26.758
Дисперсия случайной величины X (Var(X)) можно найти, используя следующую формулу:
Var(X) = E((X – E(X))^2) = (17 – 26.758)^2 * 0.477 + (27 – 26.758)^2 * 0.571 + (37 – 26.758)^2 * 0.397 ≈ 37.023
Аналогично, математическое ожидание случайной величины Y (E(Y)) равно:
E(Y) = 21 * 0.23 + 22 * 0.14 + 37 * 0.36 ≈ 29.28
И дисперсия случайной величины Y (Var(Y)) равно:
Var(Y) = E((Y – E(Y))^2) = (21 – 29.28)^2 * 0.23 + (22 – 29.28)^2 * 0.14 + (37 – 29.28)^2 * 0.36 ≈ 34.446
Шаг 4: Коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции между X и Y (Corr(X, Y)) можно найти, используя следующую формулу:
Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))
где Cov(X, Y) – ковариация между X и Y, σ(X) и σ(Y) – стандартные отклонения X и Y соответственно.
Ковариация Cov(X, Y) можно вычислить, умножив каждую пару значений X и Y на соответствующую вероятность их получения, и вычислив сумму:
Cov(X, Y) = (17 – 26.758)*(21 – 29.28)*0.477 + (27 – 26.758)*(22 – 29.28)*0.571 + (37 – 26.758)*(37 – 29.28)*0.397 ≈ -0.762
Стандартные отклонения σ(X) и σ(Y) можно вычислить, возведя дисперсии σ(X) и σ(Y) в квадратный корень:
σ(X) = sqrt(Var(X)) ≈ sqrt(37.023) ≈ 6.08
σ(Y) = sqrt(Var(Y)) ≈ sqrt(34.446) ≈ 5.86
Теперь, подставив значения Cov(X, Y), σ(X) и σ(Y) в формулу, получим коэффициент корреляции:
Corr(X, Y) = -0.762 / (6.08 * 5.86) ≈ -0.022
Таким образом, математическое ожидание X ≈ 26.758, дисперсия X ≈ 37.023, математическое ожидание Y ≈ 29.28, дисперсия Y ≈ 34.446 и коэффициент корреляции между X и Y ≈ -0.022.
