Если однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А имеет по крайней мере два решения, то можно сделать следующие утверждения:
1. Определитель матрицы коэффициентов А равен нулю.
Когда система имеет более одного решения, ее матрица коэффициентов обязательно будет вырожденной, то есть определитель равен нулю.
2. Система содержит линейно зависимые уравнения.
Если система имеет хотя бы два разных решения, это означает, что существуют два линейно независимых вектора в пространстве решений. Или же мы можем сказать, что система содержит линейно зависимые уравнения.
3. Столбцы матрицы А линейно зависимы.
Если система имеет по крайней мере два решения, это означает, что столбцы матрицы коэффициентов также линейно зависимы. Это связано с определителем, который является объемом (или площадью) параллелепипеда, построенного на векторах-столбцах матрицы А. Если объем равен нулю, это означает, что векторы-столбцы лежат в одной плоскости и, следовательно, линейно зависимы.
Таким образом, эти утверждения справедливы для однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А, имеющей по крайней мере два решения.