Для решения этой задачи нам нужно найти все точки экстремума функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 – x^3 и вычислить их произведение.
Шаги решения:
1. Найдем производную функции f(x), возьмем ее первую производную, приравняем ее к нулю и найдем критические точки:
f'(x) = 9 + 6x – 3x^2 = 0
2. Решим квадратное уравнение 3x^2 – 6x – 9 = 0, чтобы найти критические точки. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4(3)(-9) = 36 + 108 = 144
3. Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:
x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-6) + √144) / (2*3) = (6 + 12) / 6 = 3
x2 = (-b – √D) / (2a) = (-(-6) – √144) / (2*3) = (6 – 12) / 6 = -1
4. Таким образом, у нас есть две точки экстремума функции f(x), которые равны x1 = 3 и x2 = -1.
5. Найдем значения функции f(x) в этих точках:
f(3) = 2 + 9*3 + 3*3^2 – 3^3 = 2 + 27 + 27 – 27 = 29
f(-1) = 2 + 9*(-1) + 3*(-1)^2 – (-1)^3 = 2 – 9 + 3 – (-1) = 2 – 9 + 3 + 1 = -3
6. Найдем произведение этих значений: A = f(3) * f(-1) = 29 * (-3) = -87
Ответ: произведение всех точек экстремума функции f(x) = 2 + 9x + 3x^2 – x^3 равно -87.