На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для определения кратности корня x=а многочлена f(x) нужно найти остаток от деления многочлена f(x) на (x-а). Если полученный остаток равен нулю, то корень x=а имеет кратность больше или равную 1.
Шаги решения:
1. Находим остаток от деления многочлена f(x) на (x-а).
Для этого применяем алгоритм деления многочлена. Делим каждый член многочлена f(x) на (x-а) и записываем остаток.
f(x) = x^5 – 4x^4 + 5x^3 – 3x^2 + 4, a = 2
Делим каждый член на (x-2):
f(x) = (x^5 – 4x^4 + 5x^3 – 3x^2 + 4) / (x-2)
= x^4 – 2x^3 + x^2 – 5x + 14
Полученный остаток равен x^4 – 2x^3 + x^2 – 5x + 14.
2. Проверяем, равен ли остаток нулю.
Подставляем x=а=2 в полученный остаток и проверяем равенство нулю:
2^4 – 2*2^3 + 2^2 – 5*2 + 14 = 16 – 16 + 4 – 10 +14 = 8.
Так как полученное значение остатка не равно нулю, корень x=2 имеет кратность 0 (не является корнем).
3. Находим многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый из которых является корнем многочлена f(x).
Для этого факторизуем многочлен f(x) на простые множители:
f(x) = x^5 – 4x^4 + 5x^3 – 3x^2 + 4
= (x-2)(x^4 – 2x^3 + x^2 – 5x + 14)
Многочлен наибольшей степени с простыми корнями будет равен x^4 – 2x^3 + x^2 – 5x + 14.
Итак, кратность корня x=2 многочлена f(x) равна 0. Многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнем многочлена f(x), равен x^4 – 2x^3 + x^2 – 5x + 14.
