Квадратичная форма L(x1, x2) = 12×1^2 + 2x1x2 + 4ax2^2 является положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x = [x1, x2]^T выполняется следующее неравенство:
x^T A x > 0,
где A – матрица коэффициентов квадратичной формы L(x1, x2), т.е.
A = [[12, 2], [2, 4a]].
Это неравенство можно записать в виде:
12×1^2 + 2x1x2 + 4ax2^2 > 0.
Теперь нам нужно определить значения параметра a, при которых выполняется это неравенство.
1. Рассмотрим случай, когда a = 0.
Тогда неравенство примет вид:
12×1^2 + 2x1x2 + 0x2^2 > 0.
Это неравенство будет выполняться при любых ненулевых значениях x1 и x2, так как оно является суммой квадратов, которая всегда положительна.
2. Теперь рассмотрим случай, когда a ≠ 0.
Для того, чтобы неравенство было выполнялось при любых значениях x1 и x2, коэффициенты при квадратичных членах должны быть положительными, а дискриминант квадратного трехчлена, который находится в исходном неравенстве (2^2 – 4 * 12 * (4a)) должен быть отрицательным.
Таким образом, нам нужно найти значения параметра a, при которых выполняется неравенство:
2^2 – 4 * 12 * (4a) < 0. Это неравенство можно упростить: 4 - 192a < 0, -192a < -4, a > 1/48.
Таким образом, значения параметра a, при которых квадратичная форма L(x1, x2) = 12×1^2 + 2x1x2 + 4ax2^2 является положительно определенной, это a > 1/48.