На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Определитель матрицы является одним из фундаментальных свойств матриц. Он вычисляется для квадратной матрицы и представляет собой число, которое является результатом определенных операций над элементами этой матрицы.
Формулы Крамера — это метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей матриц. Чтобы использовать этот метод, необходимо, чтобы количество уравнений и неизвестных в системе совпадало. При этом решение системы можно найти, вычислив отношение определителей, а затем разделив его на главный определитель.
Найдем решение системы линейных уравнений:
-3×1 + x2 + x3 = -1
x1 + x2 + 2×3 = 4
-x1 + 2×2 + 2×3 = 3
a) Решение по формулам Крамера:
Сначала найдем главный определитель D, который можно найти как определитель матрицы коэффициентов перед неизвестными:
D = | -3 1 1 |
| 1 1 2 |
| -1 2 2 |
Вычислим D: D = (-3 * 1 * 2) + (1 * 2 * 1) + (1 * 1 * -1) – (-1 * 1 * 2) – (2 * 2 * -3) – (2 * 1 * 1) = -6 + 2 – 1 + 2 + 12 – 2 = 7
Теперь найдем определитель Dx. Для этого заменим первый столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов (-1, 4, 3):
Dx = | -1 1 1 |
| 4 1 2 |
| 3 2 2 |
Вычислим Dx: Dx = (-1 * 1 * 2) + (1 * 2 * 3) + (1 * 4 * 2) – (3 * 1 * 2) – (2 * 2 * -1) – (2 * 4 * 1) = -2 + 6 + 8 – 6 + 4 – 8 = 2
Аналогично найдем определитель Dy и Dz, заменяя соответствующий столбец на столбец свободных членов:
Dy = | -3 -1 1 |
| 1 4 2 |
| -1 3 2 |
Dz = | -3 1 -1 |
| 1 1 4 |
| -1 2 3 |
Вычислим Dy: Dy = (-3 * 4 * 2) + (1 * 2 * -1) + (1 * 1 * 3) – (-1 * 4 * 2) – (2 * 1 * -3) – (3 * 2 * 1) = -24 – 2 + 3 + 8 + 6 – 6 = -15
Вычислим Dz: Dz = (-3 * 1 * 3) + (1 * 2 * -1) + (1 * -3 * 2) – (-1 * 1 * 3) – (2 * 2 * -3) – (3 * -3 * 1) = -9 – 2 – 6 + 3 + 12 – 9 = -11
Теперь решение системы можно получить, разделив каждый из определителей на главный определитель:
x1 = Dx/D = 2/7
x2 = Dy/D = -15/7
x3 = Dz/D = -11/7
Таким образом, решение системы по формулам Крамера: x1 = 2/7, x2 = -15/7, x3 = -11/7.
b) Решение матричным способом:
Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме: AX = B, где
A = | -3 1 1 |
| 1 1 2 |
| -1 2 2 |
X = | x1 |
| x2 |
| x3 |
B = | -1 |
| 4 |
| 3 |
Для решения системы умножим обе части уравнения на обратную матрицу A^(-1):
X = A^(-1) * B
Найдем обратную матрицу A^(-1) для матрицы A:
A^(-1) = (1/D) * adj(A), где D – главный определитель матрицы A, adj(A) – алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы A
A^(-1) = (1/7) * | -11 11 -6 |
| 1 -5 3 |
| -1 5 -3 |
Умножим обратную матрицу на матрицу B:
X = A^(-1) * B = (1/7) * | -11 11 -6 | * | -1 | = | 2/7 |
| 1 -5 3 | | -15/7 |
| -1 5 -3 | | -11/7 |
Таким образом, решение системы матричным способом: x1 = 2/7, x2 = -15/7, x3 = -11/7.
Полученные решения в обоих методах совпадают.
