1) Для нахождения вектора k нужно умножить каждую координату вектора AD на 3, а каждую координату вектора BC на -2, и затем сложить эти векторы.
AD = D – A = (3 – 6; 4 – 1; 5 – 0) = (-3; 3; 5)
BC = C – B = (4 – (-1); 7 – 3; 0 – 2) = (5; 4; -2)
k = 3 * AD – 2 * BC = 3 * (-3; 3; 5) – 2 * (5; 4; -2) = (-9; 9; 15) – (10; 8; -4) = (-19; 1; 19)
Ответ: координаты вектора k равны (-19; 1; 19).
2) Угол между векторами можно найти с помощью формулы:
cos(θ) = (DC * AB) / (|DC| * |AB|),
где DC и AB – векторы, * – скалярное произведение векторов, |AB| – длина вектора AB, |DC| – длина вектора DC.
DC = C – D = (4 – 3; 7 – 4; 0 – 5) = (1; 3; -5)
AB = B – A = (-1 – 6; 3 – 1; 2 – 0) = (-7; 2; 2)
|DC| = sqrt(1^2 + 3^2 + (-5)^2) = sqrt(35)
|AB| = sqrt((-7)^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(57)
DC * AB = 1 * (-7) + 3 * 2 + (-5) * 2 = -7 + 6 – 10 = -11
cos(θ) = (-11) / (sqrt(35) * sqrt(57))
θ = arccos(-11 / (sqrt(35) * sqrt(57)))
Ответ: угол между векторами DC и AB равен arccos(-11 / (sqrt(35) * sqrt(57))).
3) Площадь основания ABC можно найти с помощью векторного произведения векторов AB и AC:
S = 1/2 * |AB x AC|,
где AB x AC – векторное произведение векторов AB и AC, |AB x AC| – длина вектора AB x AC.
AB x AC = (AB1*AC2 – AB2*AC1, AB3*AC1 – AB1*AC3, AB2*AC3 – AB3*AC2)
AB x AC = (-7*7 – 2*4; 2*4 – (-7)*0; (-7)*0 – (-7)*4) = (-49 – 8; 8; 0) = (-57; 8; 0)
|AB x AC| = sqrt((-57)^2 + 8^2 + 0^2) = sqrt(3293)
S = 1/2 * sqrt(3293)
Ответ: площадь основания ABC равна 1/2 * sqrt(3293).
4) Объем пирамиды можно найти с помощью смешанного произведения векторов AD, BC и AB:
V = 1/6 * (AD * BC) * AB.abs(),
где AD * BC – скалярное произведение векторов AD и BC, AB.abs() – модуль скалярного произведения векторов AB и AB.
AD * BC = (-3 * 5 + 3 * 4 + 5 * (-2)) = -15 + 12 – 10 = -13
AB * AB = (-7 * (-7) + 2 * 2 + 2 * 2) = 49 + 4 + 4 = 57
V = 1/6 * (-13) * sqrt(57)
Ответ: объем пирамиды равен 1/6 * (-13) * sqrt(57).
5) Уравнение плоскости ABC можно найти с помощью векторного произведения векторов AB и BC:
N = AB x BC,
где AB x BC – векторное произведение векторов AB и BC.
N = (-57; 8; 0)
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C – координаты вектора N.
Уравнение плоскости ABC будет иметь вид -57x + 8y + 0z + D = 0.
Для нахождения D подставим координаты одной из вершин пирамиды (например, вершины A):
-57*6 + 8*1 = -342 + 8 = -334
Уравнение плоскости ABC: -57x + 8y – 334 = 0.
Ответ: уравнение плоскости ABC равно -57x + 8y – 334 = 0.
6) Длина высоты пирамиды BH можно найти с помощью формулы:
h = |BH| / |AB| * |AB|,
где |AB| – длина вектора AB, |BH| – длина вектора BH.
AB = (-7; 2; 2)
BH = h * AB = (0; h; 0)
|AB| = sqrt((-7)^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(57)
|BH| = sqrt(0^2 + h^2 + 0^2) = h
h = |BH| / |AB| * |AB| = h / sqrt(57) * sqrt(57) = h
Ответ: длина высоты пирамиды BH равна h.