Мы можем построить многочлен наименьшей степени с данными корнями, используя следующий подход:
1. У нас есть корень двойной кратности 1+i. Это означает, что у нас также есть корень сопряженного комплексного числа 1-i. Мы можем использовать эти корни, чтобы построить фактор многочлена с кратностью 2:
(x – (1+i))(x – (1-i)) = ((x-1) – i)((x-1) + i) = (x-1)^2 + 1.
2. У нас также есть два простых корня 4-3i и 4+3i. Мы можем использовать эти корни, чтобы построить два фактора многочлена:
(x – (4-3i))(x – (4+3i)) = (x-4+3i)(x-4-3i) = (x-4)^2 – (3i)^2 = (x-4)^2 – 9.
3. Чтобы получить искомый многочлен наименьшей степени, мы можем перемножить все факторы:
(x-1)^2 + 1)((x-4)^2 – 9) = ((x-1)^2 + 1)(x-4)^2 – 9((x-1)^2 + 1).
Таким образом, многочленом наименьшей степени, удовлетворяющим условиям задачи, будет:
f(x) = ((x-1)^2 + 1)(x-4)^2 – 9((x-1)^2 + 1).