При помощи формулы Остроградского-Гаусса докажите, что ∮∮F × dS = −∫∫∫rot F dv T S где T – ограниченная область в пространстве с границей S, S – гладкая односвязная поверхность, F (x; y; z) = (P(x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z)) – векторная функция, непрерывно дифференцируемая в области T, dS = (dydz; dzdx; dxdy) – направленный элементарный участок поверхности S, dv = dxdydz – элементарный объём в области T.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поток векторного поля F через замкнутую поверхность S с интегралом по объему области T, ограниченной этой поверхностью. Формула имеет вид:

∮∮F × dS = −∫∫∫rot F dv T

Шаги решения:

1. Разложим векторное произведение F × dS на координаты:
F × dS = (P,Q,R) × (dydz,dzdx,dxdy)
= (Q(dxdy) – R(dzdx), R(dxdy) – P(dydz), P(dzdx) – Q(dzdy))

2. Применим формулу Остроградского-Гаусса для каждой координаты:
∮∮F × dS = ∮∮(Q(dxdy) – R(dzdx))dydz + (R(dxdy) – P(dydz))dzdx + (P(dzdx) – Q(dzdy))dxdy
= ∮∮Qdxdydz – ∮∮Rdydzdx – ∮∮Pdzdxdy + ∮∮Rdydzdx + ∮∮Pdzdxdy – ∮∮Qdxdydz
= -∮∮Pdzdxdy – ∮∮Qdxdydz – ∮∮Rdydzdx
= -∫∫∫rot F dv T

3. Получаем искомое равенство ∮∮F × dS = -∫∫∫rot F dv T, что и требовалось доказать.

В результате мы доказали формулу Остроградского-Гаусса, связывающую поток векторного поля через замкнутую поверхность с интегралом по объему этой поверхности.