Производство некоторого товара облагались налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государстао, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до t1 = 2,5t0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t единиц,

Обозначим исходный налог за единицу товара как t₀. Введенный налог в два с половиной раза больше исходного, следовательно, он равен 2,5t₀.

Сумма налоговых поступлений не изменилась, это значит, что при новом налоге объем производства товара должен увеличиться таким образом, чтобы компенсировать увеличение налога.

Объем производства товара можно выразить как функцию от налога t: V(t) = 9000 – 2t.

Для определения, насколько процентов нужно изменить налог, чтобы получить максимальные налоговые сборы, рассмотрим функцию налоговых поступлений R(t), которая является произведением налога t на объем производства товара V(t):

R(t) = t * V(t) = t * (9000 – 2t) = 9000t – 2t^2.

Для нахождения максимума функции R(t) возьмем производную R'(t) и прировняем ее к нулю:

R'(t) = 9000 – 4t.

9000 – 4t = 0,
4t = 9000,
t = 2250.

Таким образом, чтобы достичь максимальных налоговых сборов, необходимо установить налог равным 2250 рублей за единицу товара.

Чтобы найти процентное изменение налога, сравним новый налог (2,5t₀) с оптимальным налогом (2250):

Процентное изменение = ((2,5t₀ – 2250) / 2250) * 100.

Это значение позволит государству увеличить налог на оптимальное значение и получить максимальные налоговые сборы.