Дано, что последовательность {xn} сходится к x в полуметрическом пространстве (X, d). Нам нужно доказать, что существует такая последовательность {λn} n ∈ N ⊂ R +, что λn сходится к +∞ при n → ∞, λn монотонна и λn · d(xn, x) сходится к 0.
Доказательство:
1. По определению сходимости последовательности, для любого положительного числа ε существует такой индекс N, что для всех n ≥ N выполнено d(xn, x) < ε.
2. Возьмем произвольное положительное число M. Рассмотрим случайную последовательность {M/ε}. Последовательность {M/ε} возрастает к бесконечности при n → ∞, так как M - фиксированное число, а ε стремится к 0 с ростом n.
3. Теперь рассмотрим последовательность {λn} n ∈ N, где λn = max{N, n}. Эта последовательность является строго монотонно возрастающей, так как каждый следующий член будет больше предыдущего. Кроме того, последовательность {λn} возрастает к бесконечности при n → ∞, так как каждый член последовательности будет больше N.
4. Рассмотрим выражение λn · d(xn, x). В случае, когда n < N, λn = N и d(xn, x) < ε. Поэтому, λn · d(xn, x) < N · ε и, так как N и ε - фиксированные числа, N · ε - также фиксированное число.
5. Когда n ≥ N, λn = n, поэтому λn · d(xn, x) = n · d(xn, x). Учитывая, что d(xn, x) < ε, получаем n · d(xn, x) < n · ε.
6. Таким образом, при всех значениях n, для которых n ≥ N, выполняется λn · d(xn, x) < n · ε, а последовательность {n · ε} растет к бесконечности с ростом n.
7. Итак, мы доказали, что при всех значениях n ≥ N, λn · d(xn, x) < n · ε, где ε может быть сколь угодно малым положительным числом.
8. Вывод: существует такая последовательность {λn} n ∈ N ⊂ R +, что λn стремится к +∞ при n → ∞, λn монотонна и λn · d(xn, x) стремится к 0 при n → ∞.
Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.