На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Данная функция выражена через элементарные функции, поэтому для ее исследования мы можем использовать основные методы.
Шаг 1: Найдем область определения функции. Функция экспоненциального роста e^(x-2) определена для любого значения x, а (3-x) является многочленом без ограничений в определении. Поэтому функция определена на всей числовой оси.
Шаг 2: Найдем производную функции. Применим правило производной произведения функций и цепное правило для производной экспоненциальной функции:
y’ = (3 – x)’ * e^(x-2) + (3 – x) * (e^(x-2))’
= (-1) * e^(x-2) + (3 – x) * e^(x-2)
Шаг 3: Найдем точки экстремума функции. Решим уравнение y’ = 0:
(-1) * e^(x-2) + (3 – x) * e^(x-2) = 0
Упростим выражение:
– e^(x-2) + 3e^(x-2) – xe^(x-2) = 0
2e^(x-2) – xe^(x-2) = 0
e^(x-2)(2-x) = 0
Из данного уравнения получаем два решения: x = 2 и x = 0.
Шаг 4: Исследуем поведение функции на интервалах между полученными точками экстремума и вне этих интервалов. Для этого построим таблицу знаков производной:
x < 0 0 < x < 2 x > 2
——— ———— ———
y’ + – +
Из таблицы знаков производной следует, что функция возрастает на интервале (-∞, 0), убывает на интервале (0, 2) и снова возрастает на интервале (2, +∞).
Шаг 5: Исследуем поведение функции на границах области определения. Найдем значения функции при x = 0 и x = 2:
y(0) = (3 – 0) * e^(0-2) = 3 * e^(-2)
y(2) = (3 – 2) * e^(2-2) = e^0 = 1
Получаем, что при x = 0 функция имеет значение 3 * e^(-2), а при x = 2 функция равна 1.
Шаг 6: Исследуем функцию на асимптоты. Для этого рассмотрим пределы функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности:
lim (x->-∞) (3 – x) * e^(x-2) = +∞
lim (x->+∞) (3 – x) * e^(x-2) = 0
Получаем, что график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при x -> +∞.
Исследование функции завершено.
Вывод: Итак, мы провели полное исследование функции y = (3 – x) * e^(x-2) и выяснили ее область определения, производную, точки экстремума, поведение функции на интервалах, значения на границах области определения и асимптоты. Это позволяет нам сделать выводы о ее поведении и использовать эту информацию для анализа и построения графика функции.
