Для проверки линейной независимости векторов x и y воспользуемся критерием линейной независимости, который гласит: векторы x и y линейно независимы тогда и только тогда, когда уравнение a*x + b*y = 0 имеет единственное решение a = b = 0.
Теперь представим, что у нас есть такие числа a и b, что выполняется уравнение a*x + b*y = 0. То есть a*3.1 + b*(-1.1) = 0. Решим это уравнение и найдем значения a и b.
3.1a – 1.1b = 0
3.1a = 1.1b
a = (1.1/3.1)b
a ≈ 0.3548b
Таким образом, это означает, что чтобы уравнение a*x + b*y = 0 имело единственное решение в виде a = b = 0, то a и b должны быть равны нулю. Отсюда следует, что векторы x и y линейно независимы.
Теперь мы можем построить ортонормированный базис пространства R2, используя векторы x и y. Для этого нам нужно найти ортогональные векторы на множестве x и y, а затем нормировать их.
Найдем ортогональный вектор v на множестве x и y. Для этого вычислим скалярное произведение между v и каждым из векторов x и y, и установим его равным нулю.
(v,x) = 3.1v – 1.1*0 = 0
(v,y) = -1.1v + 0 = 0
Из этой системы уравнений получаем:
3.1v = 0
-1.1v = 0
Решением этой системы является v = 0. Таким образом, вектор v ортогонален множеству x и y.
Наконец, нормируем векторы x, y и v, разделив каждый из них на их длину:
||x|| = sqrt((3.1)^2 + (0)^2) ≈ 3.1
||y|| = sqrt((-1.1)^2 + (0)^2) ≈ 1.1
||v|| = sqrt((0)^2 + (0)^2) = 0
Теперь мы получили ортонормированный базис пространства R2 в виде векторов x’ = (3.1/||x||, 0) ≈ (1, 0), y’ = (-1.1/||y||, 0) ≈ (-1, 0) и v’ = (0/||v||, 0) = (0, 0).
Таким образом, векторы x и y линейно независимы, и мы построили ортонормированный базис пространства R2, используя эти векторы.