Дана функция y=5/((1+x)^2). Наша задача – провести ее полное исследование и построить график.
Шаг 1: Найти область определения функции.
Функция определена для всех значений x, кроме значения, при котором знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель (1+x)^2 будет равен нулю, когда 1+x=0, то есть x=-1. Таким образом, область определения функции – все значения x, кроме x=-1.
Шаг 2: Найти точки пересечения с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, нужно подставить x=0 в уравнение функции: y=5/((1+0)^2) = 5/1 = 5.
Таким образом, функция пересекает ось Oy в точке (0,5).
Чтобы найти точку пересечения с осью Ox, нужно решить уравнение 5/((1+x)^2) = 0. Поскольку числитель никогда не равен нулю, уравнение не имеет решений. Значит, функция не пересекает ось Ox.
Шаг 3: Проверить наличие асимптот.
Найдем горизонтальную асимптоту. При x -> ∞, знаменатель (1+x)^2 стремится к ∞, следовательно, функция не имеет горизонтальной асимптоты.
Найдем вертикальную асимптоту. При x -> -1 знаменатель (1+x)^2 стремится к 0, а значит функция имеет вертикальную асимптоту x = -1.
Шаг 4: Найти интервалы возрастания и убывания функции.
Для этого найдем производную функции: y’=-10/(1+x)^3.
Производная всегда отрицательна, кроме x=-1, поэтому функция убывает на всей области определения, кроме точки x=-1.
Шаг 5: Найти экстремумы функции.
Так как функция убывает на всем интервале определения, у нее нет экстремумов.
Шаг 6: Найти точки перегиба функции.
Чтобы найти точки перегиба функции, нужно найти вторую производную. Y”= 30/(1+x)^4.
Знаменатель всегда положительный и числитель всегда положительный, поэтому у функции нет точек перегиба.
Шаг 7: Построить график функции.
Исходя из предыдущих шагов, график будет иметь вид: график проходит через точку (0,5), при x = -1 будет вертикальная асимптота. Функция убывает на всем интервале определения.
Таким образом, проведя полное исследование функции, мы можем построить ее график.