Пусть точка D – середина стороны AB. Заметим, что точка M – середина стороны AC. Поскольку прямая АD перпендикулярна к МС и делит ее пополам, то М а лежит на отрезке АС и МС = МD.
Обозначим сторону AC через х. Так как М – середина, то длина АМ = х/2. АD – медиана, поэтому MD = АD/2 = 18/2 = 9 см.
По теореме Пифагора в треугольнике AMC имеем:
AC^2 = AM^2 + MC^2.
Мы знаем, что MC^2 = 4MD^2 = 4 * 9^2 = 4 * 81 = 324.
Также мы знаем, что AM^2 = (AC/2)^2 = (x/2)^2 = x^2/4.
Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
AC^2 = x^2/4 + 324.
Нам известно, что AB = 18 см. Пусть п = AC/AB, тогда х = п * 18.
Подставляем это значение в уравнение выше:
AC^2 = (п * 18)^2/4 + 324 = п^2 * 18^2/4 + 324 = п^2 * 81 + 324.
Так как AC = п * AB, то п х 18 = AC.
Подставляем это значение и получаем:
(п х 18)^2 = п^2 * 81 + 324.
Упрощаем запись:
п^2 * 324 = п^2 *81 + 324.
Вычитаем 324 из обеих частей уравнения:
п^2 * 324 – 324 = п^2 * 81.
Упрощаем запись:
324 * п^2 – 324 = 81 * п^2.
Приравниваем левую и правую части к нулю:
324 * п^2 – 81 * п^2 – 324 = 0.
Упрощаем:
243 * п^2 – 324 = 0.
Делим обе части на 243:
п^2 – 4/3 = 0.
Умножаем все на 3:
3 * п^2 – 4 = 0.
Скобки показывают, что это является квадратным уравнением. Решаем его. Получаем два решения: п = 2/3 или п = -2/3.
Ответ: сторона AC может быть 2/3 * AB, то есть 2/3 * 18 = 12 см, или -2/3 * AB, то есть -2/3 * 18 = -12 см. Так как сторона не может быть отрицательной, то возможное значение стороны AC равно 12 см.