Пусть задано множество = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и отношение r = {( ; ) ∈ × | − 1 < }. Записать отношение списком, графически и в матричной формах. Установить область определения и область значений данного отношения. Определить свойства данного отношения. Является ли отношение отношением эквивалентности или отношением частичного порядка?

Отношение r = {( ; ) ∈ × | − 1 < } можно записать списком: r = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (6,7), (6,8), (6,9), (7,8), (7,9), (8,9)} Графически отношение можно представить на координатной плоскости, где ось будет отвечать за первый элемент пары, а ось - за второй элемент пары. Точки ( ; ), для которых - 1 < , будут образовывать нижнюю часть плоскости, ограниченную прямой = - 1. Матричная форма отношения r будет выглядеть следующим образом: 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Область определения данного отношения - это множество , так как все элементы из могут быть первыми элементами пары, а область значений - все элементы из , для которых выполняется условие - 1 < , то есть все числа от 2 до 9. Свойства данного отношения: 1) Рефлексивность: отношение не является рефлексивным, так как для каждого элемента из множества не выполняется условие - 1 < . 2) Антирефлексивность: отношение является антирефлексивным, так как для каждого элемента из множества выполняется условие - 1 < . 3) Транзитивность: отношение является транзитивным, так как если для пары ( , ) и ( , ) из отношения выполняется условие - 1 < и - 1 < , то для них также выполняется условие - 1 < . 4) Симметричность: отношение не является симметричным, так как для пары ( , ) из отношения, где - 1 < , не обязательно выполняется условие - 1 < . Например, для пары (1,2) из отношения, где 1 - 1 < 2, не выполняется условие 2 - 1 < 1. 5) Антисимметричность: отношение является антисимметричным, так как если для пары ( , ) из отношения выполняется условие - 1 < и для пары ( , ) также выполняется это условие, то = . 6) Рефлексивное замыкание: рефлексивным замыканием отношения будет {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7), (8,8), (9,9)}. 7) Симметричное замыкание: симметричным замыканием отношения будет {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (3,9), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,7), (6,8), (6,9), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (7,8), (7,9), (8,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,7), (8,9), (9,1), (9,2), (9,3), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7), (9,8)}. Данное отношение не является ни отношением эквивалентности, ни отношением частичного порядка.