При вращении треугольника вокруг гипотенузы образуется пирамида. Чтобы найти площадь поверхности этого тела, нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Треугольник является равнобедренным, поэтому его два катета имеют равную длину. Пусть каждый катет равен x см.
В пирамиде боковая поверхность формируется при вращении двух прямоугольных треугольников со сторонами x, x и x√2 см вокруг гипотенузы длиной 5√2 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей поверхностей этих двух треугольников.
Площадь поверхности прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = p * l / 2, где p – периметр треугольника, l – длина гипотенузы.
Периметр каждого треугольника равен сумме длин двух катетов и длины гипотенузы: p = 2x + x√2.
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S = (2x + x√2) * 5√2 / 2 = (10x + 5x√2)√2/2 = (5x + 5x√2)√2 = 10x√2 + 10x.
Осталось найти значение x. Из равенства катетов прямоугольного треугольника получаем:
x^2 + x^2 = (5√2)^2,
2x^2 = 50,
x^2 = 25,
x = 5.
Подставляем найденное значение x в выражение для площади поверхности пирамиды:
S = 10 * 5√2 + 10 * 5 = 50√2 + 50.
Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, равна 50√2 + 50 квадратных сантиметров.