Для разложения функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z=0, необходимо найти коэффициенты этого ряда. Для начала рассмотрим функцию вида g(z) = z^4sin(1/z^3).
Для определения характера особой точки z=0 разложим функцию g(z) в ряд Тейлора вокруг этой точки. Заметим, что функция sin(1/z^3) имеет бесконечное число особых точек в окрестности z=0, поэтому нам необходимо выделить главную часть этого ряда.
Функцию sin(1/z^3) можно представить в виде ряда Тейлора вокруг z=0. Для этого воспользуемся разложением sin(z) в ряд Тейлора:
sin(z) = z – (z^3/3!) + (z^5/5!) – (z^7/7!) + …
Подставим в это разложение z = 1/z^3:
sin(1/z^3) = (1/z^3) – (1/(z^3*3!)) + (1/(z^3*5!)) – (1/(z^3*7!)) + …
Теперь умножим это выражение на z^4, чтобы получить функцию g(z):
g(z) = z^4 * (1/z^3 – (1/(z^3*3!)) + (1/(z^3*5!)) – (1/(z^3*7!)) + …)
Приведем в порядок слагаемые этого выражения:
g(z) = z – (1/(z*3!)) + (1/(z*5!)) – (1/(z*7!)) + …
Теперь мы получили разложение функции g(z) в ряд Лорана. Отсюда видно, что характер особой точки z=0 является устранимой, так как отсутствует слагаемое z^(-1).
Таким образом, функция f(z) = z^4sin(1/z^3) имеет устранимую особую точку в z=0.