Дано система уравнений:
1) 2x + 3y – 5 = 0
2) -x + 4y = z
3) x – y + 2z = 1
Для решения этой системы можно использовать метод Гаусса или метод Крамера.
Метод Гаусса:
1) Приведем систему к треугольному виду, устраняя неизвестные поочередно из уравнений.
a) Для этого из второго уравнения выразим x: x = 4y – z
b) Подставим вместо x в первое и третье уравнения: 2(4y – z) + 3y – 5 = 0 и (4y – z) – y + 2z = 1
упростим: 8y – 2z + 3y – 5 = 0 и 4y + z = 1
2) Выразим y из второго уравнения: y = (1 – z)/4
3) Подставим полученное значение y в первое уравнение: 8(1 – z)/4 – 2z + 3((1 – z)/4) – 5 = 0
упростим: 2(1 – z) – 2z + 3(1 – z)/4 – 5 = 0
раскроем скобки: 2 – 2z – 2z + 3/4 – 3z/4 – 5 = 0
упростим: -6z – 4z – 7/4 = 0
соберём все члены с переменными: -10z = 7/4
выразим z: z = -7/40
4) Подставим найденное значение z во второе уравнение: -x + 4((1 – z)/4) = z
упростим: -x + 1 – z = z
раскроем скобки и выразим x: -x – 2z = -1
подставим значение z: -x – 2*(-7/40) = -1
упростим: -x + 7/20 = -1
выразим x: x = -1 – 7/20 = -20/20 – 7/20 = -27/20
5) Подставим найденные значения x и z в третье уравнение: x – y + 2z = 1
упростим и подставим значения: -27/20 – y + 2*(-7/40) = 1
раскроем скобки: -27/20 – y – 7/20 = 1
упростим: -y – 34/20 = 1
выразим y: y = -1 – 34/20 = -20/20 – 34/20 = -54/20 = -27/10
Таким образом, решение системы уравнений:
x = -27/20
y = -27/10
z = -7/40