Для решения системы уравнений методом Гаусса, сначала преобразуем систему к матричному виду:
| 3 -4 | | x | | 18 |
| 2 5 | | y | = | 19 |
Шаг 1: Умножаем первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3, чтобы получить первый столбец с единицей в первой строке:
| 6 -8 | | x | | 36 |
| 6 15 | | y | = | 57 |
Шаг 2: Вычитаем из второго уравнения первое уравнение:
| 6 -8 | | x | | 36 |
| 0 23 | | y | = | 21 |
Шаг 3: Делим второе уравнение на 23, чтобы получить единицу перед y:
| 6 -8 | | x | | 36 |
| 0 1 | | y | = | 21/23 |
Шаг 4: Вычитаем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на -8:
| 6 0 | | x | | 36 + 8 * (21/23) |
| 0 1 | | y | = | 21/23 |
Шаг 5: Делим первое уравнение на 6, чтобы получить единицу перед x:
| 1 0 | | x | | (36 + 8 * (21/23))/6 |
| 0 1 | | y | = | 21/23 |
Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса: x = (36 + 8 * (21/23))/6, y = 21/23.
Теперь решим систему уравнений методом Крамера:
Для метода Крамера сначала найдем определитель матрицы A, где A это матрица коэффициентов перед x и y:
| 3 -4 |
| 2 5 |
Определитель матрицы A равен: det(A) = 3 * 5 – (-4) * 2 = 15 + 8 = 23.
Затем найдем определитель матрицы A_x, заменив первый столбец в матрице A столбцом значений:
| 18 -4 |
| 19 5 |
Определитель матрицы Ax равен: det(A_x) = 18 * 5 – (-4) * 19 = 90 + 76 = 166.
Теперь найдем определитель матрицы A_y, заменив второй столбец в матрице A столбцом значений:
| 3 18 |
| 2 19 |
Определитель матрицы Ay равен: det(A_y) = 3 * 19 – 18 * 2 = 57 – 36 = 21.
Итак, решение системы уравнений методом Крамера: x = det(A_x) / det(A) = 166 / 23, y = det(A_y) / det(A) = 21 / 23.
Таким образом, x = 166 / 23, y = 21 / 23.
Оба метода дают одинаковые значения для x и y.