Данное уравнение является квадратным относительно переменной (3x-1). Давайте введем замену переменной y = (3x-1).
Тогда уравнение примет вид:
y⁴ – 20y² + 64 = 0.
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной y. Давайте решим его.
Для этого воспользуемся заменой переменной z = y²:
z² – 20z + 64 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.
Дискриминант D = (-20)² – 4*1*64 = 400 – 256 = 144.
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.
z₁,₂ = (-(-20) ± √144) / (2*1) = (20 ± 12) / 2 = 16 или 4.
Теперь вернемся к переменной y:
y² = 16 или y² = 4.
Если y² = 16, то y₁ = √16 = 4 и y₂ = -√16 = -4.
Если y² = 4, то y₃ = √4 = 2 и y₄ = -√4 = -2.
Теперь найдем значения переменной x, подставив найденные значения y в исходное уравнение.
1) y₁ = 4:
3x-1 = 4 => 3x = 5 => x = 5/3.
2) y₂ = -4:
3x-1 = -4 => 3x = -3 => x = -1.
3) y₃ = 2:
3x-1 = 2 => 3x = 3 => x = 1.
4) y₄ = -2:
3x-1 = -2 => 3x = -1 => x = -1/3.
Таким образом, уравнение имеет четыре решения: x₁ = 5/3, x₂ = -1, x₃ = 1, x₄ = -1/3.