Начнем решение уравнения пошагово:
1. Квадрат нельзя извлечь из отрицательного числа, поэтому начнем с определения допустимого диапазона значений для x. В данном случае, оба корня должны быть действительными, поэтому должно выполняться условие: х + 2 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0.
Решим эти два неравенства:
– Для х + 2 ≥ 0: вычитаем 2 из обеих сторон и получаем х ≥ -2.
– Для 3 – х ≥ 0: вычитаем 3 из обеих сторон и получаем -х ≥ -3. Умножаем обе стороны на -1 (условие меняется на противоположное): х ≤ 3.
Итак, допустимый диапазон значений для x: -2 ≤ x ≤ 3.
2. Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(√(х + 2) + √(3 – х))^2 = 3^2
Получаем:
(х + 2) + 2√((х + 2)(3 – х)) + (3 – х) = 9
3. Упростим полученное уравнение:
Раскроем скобки: х + 2 + 2√((х + 2)(3 – х)) + 3 – х = 9
Сократим одинаковые слагаемые: 2 + 2√((х + 2)(3 – х)) = 9 – х
4. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
2√((х + 2)(3 – х)) + х = 7
5. Вычтем х из обеих сторон уравнения:
2√((х + 2)(3 – х)) = 7 – х
6. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(2√((х + 2)(3 – х)))^2 = (7 – х)^2
Получаем:
4(х + 2)(3 – х) = (7 – х)^2
7. Раскроем скобки:
4(3х – х^2 + 6 – 2х) = (7 – х)^2
Упростим:
12х – 4х^2 + 24 – 8х = 49 – 14х + х^2
8. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
12х – 4х^2 + 24 – 8х – 14х + х^2 – 49 = 0
Упорядочим слагаемые:
-4х^2 – 9х^2 – 30х – 25 = 0
9. Решим полученное квадратное уравнение:
-13х^2 – 30х – 25 = 0
Можно решить это уравнение с использованием формулы дискриминанта или факторизации. В этом случае применим формулу дискриминанта:
D = b^2 – 4ac
a = -13, b = -30, c = -25
D = (-30)^2 – 4(-13)(-25)
D = 900 – 1300
D = -400
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
10. Возвращаясь к условию, мы знаем, что допустимый диапазон значений для x равен -2 ≤ x ≤ 3. Подставим значения x из этого диапазона в исходное уравнение для проверки.
При x = -2:
√(-2 + 2) + √(3 – (-2)) = 3
√0 + √5 = 3
0 + √5 ≠ 3
При x = 3:
√(3 + 2) + √(3 – 3) = 3
√5 + √0 = 3
√5 + 0 ≠ 3
Итак, исходное уравнение не имеет решений в указанном диапазоне значений для x.