Дана система уравнений:
1) log3x + log3y = log3(2)
2) log25(x+y) = 0.5
Для начала рассмотрим первое уравнение. Используя свойство логарифма log a + log b = log (a*b), мы можем объединить логарифмы:
log3(x*y) = log3(2)
Теперь мы можем сравнить аргументы логарифмов и исключить логарифмы:
x*y = 2 (уравнение 1*)
Теперь перейдем ко второму уравнению.
Нам дано, что log25(x+y) = 0.5. Мы знаем, что 0.5 = log25(5). Таким образом, мы можем выразить аргументы логарифма:
x + y = 5 (уравнение 2*)
Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнений 1* и 2*. Решим ее:
1*) x*y = 2
2*) x + y = 5
Для решения данной квадратной системы уравнений можно использовать метод подстановок:
Из уравнения 2*) можно выразить переменную x:
x = 5 – y
Теперь подставим x в уравнение 1*):
(5 – y) * y = 2
Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:
5y – y^2 = 2
Соберем все слагаемые в правую сторону:
y^2 – 5y + 2 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение или метод дискриминант:
D = (-5)^2 – 4*1*2 = 25 – 8 = 17
Так как D > 0, у нас есть два действительных корня.
Решим квадратное уравнение:
y1 = (5 + sqrt(17)) / 2
y2 = (5 – sqrt(17)) / 2
Подставим найденные значения y в уравнение 2*) и найдем соответствующие значения x:
Следовательно, система имеет два решения:
(x1, y1) = (1.62, 3.38)
(x2, y2) = (3.38, 1.62)
Таким образом, верный ответ – (в) 2. (3.38, 1.62)