Предположим, что все камни вместе весят 7 кг или больше. Обозначим вес каждого камня через a1, a2, …, a7. Тогда сумма весов всех камней будет равна a1 + a2 + … + a7.
Рассмотрим 6 камней, кроме одного. Так как любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг, то сумма весов этих шести камней будет меньше 6: a1 + a2 + … + a6 < 6. Добавим к обеим частям этого неравенства вес седьмого камня. Получим: a1 + a2 + ... + a6 + a7 < 6 + a7. Выразим вес всех 7 камней, a1 + a2 + ... + a7, с обеих сторон неравенства: a1 + a2 + ... + a7 < 6 + a7. Сократим a7 на обоих сторонах неравенства: a1 + a2 + ... + a6 < 6. Но мы предположили, что a1 + a2 + ... + a7 >= 7. Получается противоречие.
Значит, наше предположение неверно, и все семь камней вместе весят меньше 7 кг.