На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для начала, заметим, что дан ряд строится по формуле ((n*(n+1))/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1)), где n принимает значения от 1 до 14.
Шаг 1: Приведение ряда к более удобному виду
Чтобы проанализировать сходимость ряда, нам нужно преобразовать его к более удобному виду. У нас есть произведение трёх множителей ((n*(n+1))/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1)). Можно заметить, что первый множитель n*(n+1) можно упростить до n^2+n. Упрощенная форма ряда будет иметь вид ((n^2+n)/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1)).
Шаг 2: Анализ сходимости отдельных множителей
Теперь нам нужно проанализировать сходимость каждого множителя (((n^2+n)/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1))) в отдельности.
– Множитель n^2+n: Заметим, что это квадратичная функция от n с положительным ведущим коэффициентом 1, что означает, что она стремится к бесконечности при n -> бесконечности. Так как она строго возрастает, нет предела в конечной точке.
– Множитель 1/(a^(n+1)): Здесь мы имеем экспоненциальную функцию от n. Если a > 1, то функция будет стремиться к нулю при n -> бесконечности. Если a = 1, то функция будет равна 1. Если a < 1, то функция будет стремиться к бесконечности при n -> бесконечности.
– Множитель (x-14)^(n-1): Здесь мы имеем функцию (x-14) в степени n-1. Если |x-14| < 1, то эта функция будет стремиться к нулю при n -> бесконечности. Если |x-14| = 1, то функция будет равна 1. Если |x-14| > 1, то функция будет стремиться к бесконечности при n -> бесконечности.
Теперь, чтобы определить сходимость ряда, мы должны учитывать сходимость всех трех множителей вместе.
Шаг 3: Анализ общей сходимости ряда
– Если a > 1 и |x-14| < 1, то общий множитель ((n^2+n)/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1)) будет стремиться к нулю при n -> бесконечности. Таким образом, ряд будет сходиться.
– Если a < 1 и |x-14| > 1, то общий множитель ((n^2+n)/(a^(n+1))*(x-14)^(n-1)) будет стремиться к бесконечности при n -> бесконечности. Таким образом, ряд будет расходиться.
– В других случаях ряд не имеет однозначной сходимости, так как один из трех множителей будет стремиться к бесконечности, а другой – к нулю.
Таким образом, сходимость ряда будет определяться значениями a и x-14.
