Скалярное произведение ненулевого вектора на самого себя равно квадрату длины этого вектора. Давайте разберемся, почему это так.
Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Если мы умножаем вектор на самого себя, то угол между ними равен 0 градусов, поскольку они направлены в одном и том же направлении.
Таким образом, косинус угла между вектором и самим собой равен 1, поскольку cos(0) = 1. А значит, скалярное произведение вектора на самого себя равно произведению длины вектора на 1.
Длина вектора (также известная как его норма) определяется как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя. Обозначается это следующим образом: ||v|| = √(v · v).
Таким образом, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора.
Вывод: Если v – ненулевой вектор, то v · v = ||v||^2.
Шаги решения:
1. Записать определение скалярного произведения векторов.
2. Учесть, что угол между вектором и самим собой равен 0 градусов.
3. Подставить 0 градусов в формулу косинуса и получить, что cos(0) = 1.
4. Заменить в формуле скалярного произведения косинус угла на 1.
5. Учесть, что длина вектора равна квадратному корню из его скалярного произведения на самого себя.
6. Заменить в формуле длины вектора скалярное произведение на его квадрат и возвести в квадратный корень.
7. Подтвердить, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.