Шаги решения:
1. Найдём координаты центра гиперболы. Для этого найдем среднюю точку между координатами фокусов:
x-координата центра = (координата х первого фокуса + координата х второго фокуса) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2/2 = -1.
y-координата центра будет совпадать с ординатой фокусов, т.е. 1.
2. Найдём расстояние между фокусами, которое является длиной фокусного отрезка:
d = расстояние между фокусами = |x-координата первого фокуса – x-координата второго фокуса| = |-5 – 1| = 6.
3. Найдём половину фокусного отрезка, которая является половиной длины фокусного отрезка:
c = половина фокусного отрезка = d / 2 = 6 / 2 = 3.
4. Зная центр гиперболы и половину фокусного отрезка, можем записать уравнение гиперболы:
Уравнение гиперболы с вертикальной осью и центром в (h, k) имеет вид: (y-k)^2/b^2 – (x-h)^2/a^2 = 1,
где (h, k) – координаты центра, a – половина длины оси, b – половина длины побочной оси.
В нашем случае, уравнение гиперболы имеет следующий вид:
(y – 1)^2 / b^2 – (x + 1)^2 / a^2 = 1.
5. Для определения значений a и b воспользуемся свойствами гиперболы:
a – растояние от центра до какой-либо точки на оси х;
b – растояние от центра до какой-либо точки на побочной оси.
Из задания можно определить, что фокусы находятся на оси ординат, следовательно, a = 0 и b = 3.
6. Подставим полученные значения a и b в уравнение гиперболы:
(y – 1)^2 / 9 – (x + 1)^2 / 0 = 1.
7. Упростим уравнение и получим окончательный вид уравнения гиперболы:
(y – 1)^2 / 9 = 1.
Окончательно, уравнение гиперболы имеет вид:
(y – 1)^2 / 9 – (x + 1)^2 / 0 = 1.