а) Чтобы найти уравнение прямой, параллельной данной, мы знаем, что у них будет одинаковый коэффициент наклона. Поэтому сначала найдем коэффициент наклона данной прямой. Уравнение данной прямой 2х − 3у +1 =0 можно переписать в виде 3у = 2х + 1 и затем в виде у = (2/3)x + 1/3. Получаем, что коэффициент наклона равен 2/3. Затем используем этот коэффициент наклона и точку А(− 8;8), чтобы составить уравнение искомой прямой. Уравнение такой прямой будет иметь вид у = (2/3)x + b, где b – неизвестная константа. Подставим координаты точки А и найдем значение b: 8 = (2/3)(-8) + b. Решив это уравнение, получим b = 16/3. Теперь имея значения коэффициента наклона и b, можем записать уравнение искомой прямой: у = (2/3)x + 16/3.
б) Чтобы найти уравнение прямой, под углом 45 градусов к прямой y − 12 = 0, нужно сначала найти коэффициент наклона этой прямой. Уравнение данной прямой уже в явном виде: y = 12. Это означает, что угол наклона равен нулю. Теперь найдем коэффициент наклона прямой, перпендикулярной данной, угол наклона которой будет 90 градусов. По определению, если коэффициент наклона одной прямой равен a, то коэффициент наклона перпендикулярной прямой будет -1/a. В данном случае a = 0, поэтому коэффициент наклона искомой прямой будет равен -1/0, что не определено. Это означает, что искомая прямая является вертикальной прямой, и ее уравнение имеет вид x = c, где c – константа. Подставляем координаты точки А(-8, 8) в уравнение и находим c: -8 = c. Таким образом, уравнение искомой прямой x = -8.
г) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку А и точку В (-4, -7), используем формулу для нахождения коэффициента наклона (в случае, когда точки не совпадают): a = (y2 – y1) / (x2 – x1). Подставим координаты точек (-8, 8) и (-4, -7) в эту формулу и найдем a: a = (-7 – 8) / (-4 – (-8)) = (-15) / 4. Теперь используем найденный коэффициент наклона и точку А, чтобы составить уравнение прямой: у = (-15/4)x + b. Подставим координаты точки А и найдем значение b: 8 = (-15/4)(-8) + b. Решив это уравнение, получим b = (-29/2). Теперь имея значения коэффициента наклона и b, можем записать уравнение искомой прямой: у = (-15/4)x – (29/2).