Чтобы взять интеграл от данного выражения, мы можем воспользоваться методом замены переменных.
Шаги решения:
1. Для начала, давайте введем новую переменную замены u = x + 1. Тогда, можно записать dx = du.
2. Подставим новую переменную в данное выражение: (tan(u))/(cos(u))^2.
3. Теперь нужно заменить tan(u) и (cos(u))^2 с использованием тригонометрических тождеств.
tan(u) = sin(u)/cos(u) и (cos(u))^2 = 1 – sin^2(u).
4. Подставим полученные замены в наше выражение: (sin(u)/cos(u))/(1 – sin^2(u)).
5. Далее, мы можем разложить дробь на частные дроби при помощи метода частных дробей. Разложим наши функции на простые дроби следующим образом:
(sin(u)/cos(u))/(1 – sin^2(u)) = A/cos(u) + B/(1 – sin^2(u)).
6. Найдем значения A и B, сложив правые части уравнения и приравняв коэффициенты при cos(u) и (1 – sin^2(u)):
sin(u) = A(1 – sin^2(u)) + Bcos(u).
7. Теперь мы можем найти значения A и B путем решения этой системы уравнений. Учитывая, что sin^2(u) + cos^2(u) = 1, мы можем свести систему к следующему виду:
sin(u) = A – A*sin^2(u) + B*cos(u).
8. Приравнивая коэффициенты при sin^2(u) и cos(u), получаем два уравнения:
1) 0 = A
2) 1 = A + B.
9. Из уравнений 1) и 2) находим значения A = 0 и B = 1.
10. Подставим значения A и B обратно в наше разложение дроби: 0/cos(u) + 1/(1 – sin^2(u)).
11. Мы можем упростить первый член разложения, так как 0/cos(u) = 0.
12. Итак, получаем следующий вид интеграла: 1/(1 – sin^2(u)).
13. С помощью тригонометрической тождества мы знаем, что (1 – sin^2(u)) = cos^2(u). Подставим это в выражение: 1/cos^2(u).
14. Мы знаем, что 1/cos^2(u) = sec^2(u). Теперь мы можем записать интеграл в виде: ∫sec^2(u) du.
15. Интеграл от sec^2(u) равен tan(u) + C, где С – постоянная интегрирования.
16. Заменим обратно переменную u на исходную переменную x, получим конечный результат: tan(x+1) + C.
Таким образом, интеграл от (tan(x+1))/(cos(x+1))^2 равен tan(x+1) + C.