Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A  =  90°) и AK  =  2AN. Точка B  — середина стороны KN. а)  Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN. б)  Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

a) Докажем, что прямая BM параллельна прямой AN.
Поскольку AK = 2AN, то треугольник KAN является равнобедренным, и мы можем сказать, что ∠A = ∠K.
Также, т.к. B – середина стороны KN,то по определению, BK = BN.
Рассмотрим треугольники BAK и BNA. У них уже равны два угла: ∠A = ∠K и ∠B = ∠B.
Также, по условию, BK = BN.
По стороне KA = NA (по определению равнобедренного треугольника).
Таким образом, по двум сторонам и углу треугольники BAK и BNA равны, что означает, что они подобны.
Следовательно, у них соответственные стороны параллельны. Таким образом, прямая BM параллельна прямой AN.

б) Рассмотрим треугольники MAP и MPB.
Так как AO является медианой треугольника KAN, то точка P – точка пересечения медиан треугольника KLM. По свойству медиан треугольника, точка P делит сторону ML пополам, то есть LP = PM.
Таким образом, отношение LP : PM равно 1:1.