Третий и шестой члены геометрической прогрессии равны 10 и 270 соответственно. а) Найдите кратное прогрессии. б) Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство геометрической прогрессии, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на постоянное число.
Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.
Зная, что третий и шестой члены прогрессии равны 10 и 270 соответственно, мы можем сделать два уравнения:
a*q^2 = 10 (1)
a*q^5 = 270 (2)

Решение этого уравнения можно найти, разделив уравнение (2) на уравнение (1):
(q^5)/(q^2) = 270/10
q^3 = 27
q = 3

Теперь подставим значение q в одно из уравнений (1):
a*3^2 = 10
a*9 = 10
a = 10/9

а) Мы нашли, что знаменатель прогрессии равен 3, а первый член равен 10/9. Таким образом, кратная прогрессия имеет вид: 10/9, 10/3, 10, 30, 90, 270.

б) Чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_n = a*(1 – q^n)/(1 – q)

Для нашей прогрессии сумма первых пяти членов будет:
S_5 = (10/9)*(1 – 3^5)/(1 – 3)
= (10/9)*(1 – 243)/(-2)
= (10/9)*(-242)/(-2)
= 1210/9

Ответ: а) Кратная прогрессия: 10/9, 10/3, 10, 30, 90, 270.
б) Сумма первых пяти членов прогрессии равна 1210/9.