На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для начала, построим график функции y = e^(1/x) + x. Заметим, что функция определена для всех значений x, за исключением x = 0.
1. Найдем область определения (ОД) функции: ОД функции y = e^(1/x) + x – все значения x, кроме x = 0.
ОД: (-∞, 0) U (0, +∞).
2. Найдем производную функции y по x, чтобы найти точки экстремума и определить возрастание или убывание функции:
y’ = -e^(1/x) / x^2 + 1.
Для нахождения точек, в которых производная равна нулю, решим уравнение: -e^(1/x) / x^2 + 1 = 0.
Раскрываем знаменатель и переносим слагаемые: -e^(1/x) + x^2 = 0.
Домножаем на x^2, чтобы избавиться от дроби: -x^2e^(1/x) + x^4 = 0.
Факторизуем: x^2(-e^(1/x) + x^2) = 0.
Получаем два возможных значения: x = 0 или e^(1/x) = x^2.
Поскольку при x = 0 функция не определена, исключаем эту точку.
Таким образом, у нас осталось только уравнение e^(1/x) = x^2.
3. Проанализируем поведение функции в окрестности точек экстремума:
a) Для x < 0:
В этом случае y = e^(1/x) + x возрастает при приближении к нулю справа: lim(x -> 0+) e^(1/x) + x = +∞.
b) Для x > 0:
При стремлении x к нулю слева, функция e^(1/x) + x изменяется:
– Если e^(1/x) < x^2, то функция убывает: lim(x -> 0-) e^(1/x) + x = -∞.
– Если e^(1/x) > x^2, то функция возрастает: lim(x -> 0-) e^(1/x) + x = +∞.
Заметим, что функция убывает на интервале (0, a), где a – значение x, при котором e^(1/x) = x^2.
4. Вычислим пределы функции при x, стремящемся к бесконечности:
lim(x -> ∞) e^(1/x) + x = e^0 + ∞ = ∞.
lim(x -> -∞) e^(1/x) + x = e^0 + (-∞) = -∞.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
Подставим y = 0 и решим уравнение e^(1/x) + x = 0.
Отсюда получим два возможных значения x: x ≈ -0.3517 и x ≈ -2.0881.
Таким образом, точки пересечения с осями координат: (-0.3517, 0) и (-2.0881, 0).
Итак, полное исследование функции y = e^(1/x) + x выглядит следующим образом:
– Область определения: (-∞, 0) U (0, +∞),
– Точки пересечения с осями координат: (-0.3517, 0) и (-2.0881, 0),
– Нет вертикальных асимптот,
– Пределы при x, стремящемся к бесконечности: +∞ (x -> ∞) и -∞ (x -> -∞),
– Точек экстремума нет,
– Функция возрастает при приближении к нулю справа (x > 0),
– Функция убывает на интервале (0, a), где a – значение x, при котором e^(1/x) = x^2,
– График функции имеет вид: ветви, направленные вверх, с асимптотой y = x при x -> +∞, и ветви, направленные вниз, с асимптотой y = x при x -> -∞.
