Для решения этой задачи нужно проанализировать, как ведет себя данная последовательность при стремлении n к бесконечности.
Для этого мы можем воспользоваться правилом Лопиталя для вычисления пределов. Если у нас в знаменателе и числителе функции есть бесконечное значение или 0, то мы можем взять производную от числителя и знаменателя и посчитать предел от их отношения.
Рассмотрим первое утверждение: последовательность возрастает. Подставим n = 1 и получим (1+1)/(1+2) = 2/3. Теперь возьмем n = 2 и получим (2+1)/(2+2) = 3/4. Мы видим, что значения последовательности увеличиваются. Однако, это не достаточно, чтобы сделать вывод о том, что последовательность возрастает, потому что мы не знаем, в какую сторону изменяется последовательность при больших значениях n.
Рассмотрим второе утверждение: последовательность убывает. Подставим n = 1 и получим (1+1)/(1+2) = 2/3. Теперь возьмем n = 2 и получим (2+1)/(2+2) = 3/4. Мы видим, что значения последовательности уменьшаются. Однако, аналогично первому утверждению, это не достаточно, чтобы сделать вывод о том, что последовательность убывает.
Осталось проверить третье утверждение: последовательность не является монотонной. Для этого найдем предел данной последовательности при стремлении n к бесконечности.
Подставим в формулу n = бесконечности и вычислим предел:
lim(n ->бесконечности) ((n+1)/(n+2))^бесконечности = lim(n ->бесконечности) (1+1/n)/(1+2/n) = 1/1 = 1.
Таким образом, предел данной последовательности равен 1.
Из этого можно сделать вывод, что данная последовательность не является монотонной, так как она стремится к постоянному значению 1.
Таким образом, верное утверждение в данной задаче – 3. не является монотонной.