Даны две системы линейных уравнений.
Первая система:
5×1 + x2 – 7×3 – 5×1 + 2×5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
3×1 + 9×2 – 3×2 + 27×4 – 3×5 = 0.
Вторая система:
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
3×1 + 8×2 – 4×4 = 14,
x1 + 3×2 + x3 – x4 = 5.
Для начала, объединим эти две системы в одну систему линейных уравнений, добавив недостающие переменные и неприсутствующие уравнения:
5×1 + x2 – 7×3 – 5×1 + 2×5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
3×1 + 9×2 – 3×2 + 27×4 – 3×5 = 0,
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
3×1 + 8×2 – 4×4 = 14,
x1 + 3×2 + x3 – x4 = 5.
Систему можно записать в матричной форме Ax = 0, где A – матрица коэффициентов, x – вектор неизвестных переменных.
Матрица A будет иметь размерность 6×5, так как у нас есть 6 уравнений и 5 переменных.
Теперь найдем базис пространства решений системы Ax = 0. Для этого приведем матрицу A к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:
1. Поменяем местами первую и третью строки системы:
3×1 + 9×2 – 3×2 + 27×4 – 3×5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
5×1 + x2 – 7×3 – 5×1 + 2×5 = 0,
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
3×1 + 8×2 – 4×4 = 14,
x1 + 3×2 + x3 – x4 = 5.
2. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5, и вычтем из шестой строки первую, умноженную на 3:
3×1 + 9×2 – 3×2 + 27×4 – 3×5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
0 = 0,
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
0 = 0,
-2×1 – 3×2 + 8×3 + 24×4 + x5 = -11.
3. Поменяем местами четвертую и пятую строки системы:
3×1 + 9×2 – 3×2 + 27×4 – 3×5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
0 = 0,
0 = 0,
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
-2×1 – 3×2 + 8×3 + 24×4 + x5 = -11.
4. Поделим первую строку на 3:
x1 + 3×2 – x2 + 9×4 – x5 = 0,
2×1 – 2×2 – 3×3 – 7×4 + 2×5 = 0,
0 = 0,
0 = 0,
x1 + 2×2 – 2×3 – 3×4 = 4,
-2×1 – 3×2 + 8×3 + 24×4 + x5 = -11.
Теперь система имеет ступенчатый вид. Найдем свободные переменные. В данной системе это x3 и x4. Для каждой свободной переменной выберем произвольные значения, например, x3 = t и x4 = s, где t и s – произвольные константы.
Теперь найдем зависимые переменные. Исходя из ступенчатого вида системы, можно определить, что x5 выражается через x4:
x5 = -2×4.
Теперь найдем все остальные переменные через свободные переменные и зависимую переменную:
x2 = x3 – 9×4 + x5 = t – 9s – 2s = t – 11s,
x1 = -3×2 + 5×3 – 3×4 + x5 = -3(t – 11s) + 5t – 5s – 3s = -3t + 33s + 5t – 5s – 3s = 2t + 25s.
Таким образом, размерность d пространства решений (количество линейно независимых решений) равна 2, а фундаментальная система решений (базис пространства решений) состоит из двух векторов: (2, -11, 1, 0, -2) и (25, 0, 0, 1, -2).
Общее решение системы линейных уравнений:
x1 = 2t + 25s,
x2 = t – 11s,
x3 = t,
x4 = s,
x5 = -2s,
где t и s – произвольные константы.