Для проверки утверждения о несмещенности оценки нам нужно найти математическое ожидание оценки и проверить, является ли оно равным истинному значению параметра.
Шаги решения:
Шаг 1: Найдем математическое ожидание оценки.
Математическое ожидание оценки θ(x) можно найти, используя ожидания исходных случайных величин.
Для биномиального распределения Bi(1, p) мы имеем ξ = {0, 1}, где p – неизвестное значение параметра в пределах (0, 1).
Тогда Мξ = 0 * (1 – p) + 1 * p = p.
Шаг 2: Подставим полученное математическое ожидание в оценку.
θ(x) = (n/(n+1)) * xсред * (1 – xсред)
Для n = 2 получаем:
θ(x) = (2/3) * xсред * (1 – xсред)
Шаг 3: Найдем математическое ожидание оценки при n = 2.
М(θ(x)) = (2/3) * M(xсред) * (1 – M(xсред))
Исходя из определения среднего значения, M(xсред) = p.
Тогда M(θ(x)) = (2/3) * p * (1 – p) = θ.
Шаг 4: Сравним найденное математическое ожидание оценки с истинным значением параметра.
Мы видим, что M(θ(x)) = θ, что доказывает несмещенность оценки θ(x) для объема выборки n = 2.
Таким образом, мы проверили и доказали, что оценка θ(x) = (2/3) * xсред * (1 – xсред) является несмещенной оценкой параметра θ = p * (p – 1) = Dξ для объема выборки n = 2.