Пусть р радиус сферы, а h — высота призмы. Дано, что основание призмы — равнобедренный треугольник со сторонами 2, 3, 3.
Шаг 1: Найдем высоту равнобедренного треугольника по теореме Пифагора.
Известно, что стороны треугольника равны 2, 3 и 3. Пусть боковая сторона равна a, а основание — b. Используя формулу Пифагора для прямоугольного треугольника, получаем:
a^2 = b^2 – (b/2)^2
a^2 = 3^2 – (3/2)^2
a^2 = 9 – 2.25
a^2 = 6.75
a ≈ 2.60 (округляем до второго знака после запятой)
Шаг 2: Рассмотрим прямую, перпендикулярную боковой стороне треугольника и проходящую через его вершину. Обозначим ее длину через r. Заметим, что эта прямая является радиусом сферы, вписанной в призму.
Зтесть, радиус сферы равен r и прилежащий радиус треугольнику равен a. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получаем:
r^2 = (a/2)^2 + h^2
r^2 = (2.60/2)^2 + h^2
r^2 = 1.30^2 + h^2
r^2 = 1.69 + h^2
Шаг 3: Заметим, что основание призмы — равнобедренный треугольник, поэтому высота h является медианой этого треугольника.
Так как высота призмы является медианой равнобедренного треугольника, то:
h = √(4/3 * a^2 – b^2) (формула для медианы равнобедренного треугольника)
Подставляем полученные значения в формулу:
h = √(4/3 * 2.60^2 – 3^2)
h = √(4/3 * 6.76 – 9)
h = √(18.18133 – 9)
h = √9.18133
h ≈ 3.03 (округляем до второго знака после запятой)
Шаг 4: Найдем радиус сферы, подставив значения h в уравнение r^2 = 1.69 + h^2:
r^2 = 1.69 + (3.03)^2
r^2 = 1.69 + 9.18
r^2 = 10.87
r ≈ 3.30 (округляем до второго знака после запятой)
Ответ: радиус сферы ≈ 3.30, высота призмы ≈ 3.03.