Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, нужно найти точки их пересечения и затем использовать определенный интеграл.
1. Найдем точки пересечения двух функций y = 7x^2 и y = 17√x:
7x^2 = 17√x
Перенесем все в одно выражение:
7x^2 – 17√x = 0
Такое уравнение можно решить путем факторизации:
x(7x – 17√x) = 0
Таким образом, x = 0 или 7x – 17√x = 0.
Для второго уравнения можем применить замену переменной: пусть t = √x. Тогда получим уравнение:
7t^2 – 17t = 0
t(7t – 17) = 0
Таким образом, t = 0 или t = 17/7.
Используя замену, найдем значения x:
x = t^2
Для t = 0: x = 0
Для t = 17/7: x = (17/7)^2
2. Теперь расставим пределы интегрирования. Мы можем видеть, что фигура ограничена по оси x от 0 до (17/7)^2.
3. Чтобы найти площадь фигуры, используем интеграл с переменным верхним пределом:
S = ∫[0, (17/7)^2] (17√x – 7x^2) dx
4. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
∫(17√x) dx = (2/3)∙17∙x^(3/2) = (34/3)∙x^(3/2)
∫(7x^2) dx = (7/3)∙x^3
5. Вычисляем значения интегралов при подстановке верхнего и нижнего пределов:
S = [(34/3)∙x^(3/2)] |[0, (17/7)^2] – [(7/3)∙x^3] |[0, (17/7)^2]
Подставляем верхний и нижний пределы в каждый из интегралов:
S = [(34/3)∙(17/7)^(3/2) – (7/3)∙(17/7)^3] – [(34/3)∙(0)^(3/2) – (7/3)∙(0)^3]
6. Упрощаем выражение:
S = [(34/3)∙(17/7)^(3/2) – (7/3)∙(17/7)^3]
7. Вычисляем значения выражения:
S ≈ 23.09
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 7x^2 и y = 17√x, составляет примерно 23.09 единицы площади.