Для вычисления данного интеграла методом замены необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выразить новую переменную замены. Пусть u = sin(x). Тогда, дифференцируя обе части по x, получаем du = cos(x)dx.
2. Найдем пределы интегрирования в новой переменной. При x = π/2 (верхний предел) получаем u = sin(π/2) = 1, а при x = 0 (нижний предел) получаем u = sin(0) = 0.
3. Заменим подинтегральное выражение в новой переменной. Исходное подинтегральное выражение 3sin(x) + 1cos(x) в новой переменной u будет выглядеть как 3u + 1.
4. Выразим переменную x через переменную u. Изначально было: u = sin(x). Решим это уравнение относительно x: x = arcsin(u).
5. Заменим пределы интегрирования в новой переменной. В новой переменной верхний предел будет равен π/2, а нижний предел равен 0.
6. Вычислим новый интеграл I’ с использованием новой переменной u и новых пределов интегрирования. I’ = ∫(от 0 до π/2) (3u + 1) du.
7. Проинтегрируем выражение 3u + 1 по переменной u: I’ = (3/2)u^2 + u | (от 0 до π/2).
8. Вычислим значения выражения (3/2)u^2 + u в пределах от 0 до π/2:
– Верхний предел: (3/2)(1)^2 + (1) = 3/2 + 1 = 5/2.
– Нижний предел: (3/2)(0)^2 + (0) = 0.
9. Итак, получаем значение нового интеграла I’: I’ = (5/2) – 0 = 5/2.
10. Найдем итоговый результат замены, выражая его через исходную переменную x. Ответом будет I = I’ = 5/2.
Таким образом, итоговый ответ равен 5/2.