Дана функция f(x) = 2x² + √(x-1) – 1. Необходимо найти предел этой функции при x стремящемся к определенным значениям: а) x₀ = 2; б) x₀ = -1; в) x₀ = ∞.
Шаги решения:
a) При x₀ = 2:
Подставим x₀ в функцию: f(2) = 2(2)² + √(2-1) – 1 = 8 + 1 – 1 = 8.
Ответ: lim (x → 2) f(x) = 8.
б) При x₀ = -1:
Подставим x₀ в функцию: f(-1) = 2(-1)² + √(-1-1) – 1 = 2 + √(-2) – 1.
Квадратный корень из отрицательного числа не имеет действительных значений, поэтому функция не определена при x = -1.
Ответ: предел не существует.
в) При x₀ = ∞:
В данном случае используется бесконечно большой предел. Мы должны проанализировать поведение функции при стремлении аргумента x к бесконечности.
Рассмотрим каждый член функции отдельно:
– При x → ∞: 2x² будет стремиться к плюс бесконечности.
– При x → ∞: √(x-1) будет стремиться к плюс бесконечности.
– При x → ∞: -1 останется постоянной и не будет меняться.
Таким образом, сумма этих трех членов при стремлении x к бесконечности будет равна плюс бесконечности.
Ответ: lim (x → ∞) f(x) = +∞.