Для того чтобы определить, является ли система векторов линейно независимой, нужно проверить, можно ли выразить один из векторов системы через линейную комбинацию остальных векторов.
а) Для системы векторов а1, а2 и а3 составим уравнение линейной зависимости:
x1 * а1 + x2 * а2 + x3 * а3 = р,
где x1, x2, x3 – коэффициенты линейной комбинации.
Распишем это уравнение:
x1 * (6; 3; 0) + x2 * (1; -1; 2) + x3 * (3; 3; -2) = (13; 7; 1).
Получим систему следующих уравнений:
6 * x1 + x2 + 3 * x3 = 13,
3 * x1 – x2 + 3 * x3 = 7,
2 * x2 – 2 * x3 = 1.
Решим эту систему уравнений методом Гаусса-Жордана или методом Крамера и найдем значения x1, x2 и x3. Если существует решение системы, то система векторов а1, а2 и а3 линейно независима. Если решений нет, система векторов линейно зависима.
б) Для системы векторов b1, b2 и b3 составим уравнение линейной зависимости:
x1 * b1 + x2 * b2 + x3 * b3 = р,
где x1, x2, x3 – коэффициенты линейной комбинации.
Распишем это уравнение:
x1 * (2; 1; 0) + x2 * (3; 0; -1) + x3 * (0; 3; 4) = (13; 7; 1).
Получим систему следующих уравнений:
2 * x1 + 3 * x2 = 13,
x1 + 3 * x3 = 7,
-x2 + 4 * x3 = 1.
Решим эту систему уравнений методом Гаусса-Жордана или методом Крамера и найдем значения x1, x2 и x3. Если существует решение системы, то система векторов b1, b2 и b3 линейно независима. Если решений нет, система векторов линейно зависима.
После определения линейно независимой системы можно разложить вектор р по найденной системе векторов.
Возможные шаги решения:
1. Составить уравнение линейной зависимости для каждой системы векторов: а1, а2, а3 и b1, b2, b3.
2. Решить полученные системы уравнений.
3. Если в каждой системе есть решение, то соответствующая система векторов линейно независима.
4. Если в системе нет решений, то система векторов линейно зависима.
5. Разложить вектор р по системе линейно независимых векторов, если такая найдена.