Дана система уравнений:
1) x – 2y + 3z – 4 = 0
2) 3x + 2y – 5z – 4 = 0
Необходимо найти точки пересечения этих двух плоскостей и координаты вектора нормали к этим плоскостям.
Для начала решим эту систему уравнений.
Методом исключения найдем значение переменной y:
1) x – 2y + 3z – 4 = 0 (умножим на 2)
2) 3x + 2y – 5z – 4 = 0 (умножим на 2)
Получим:
2x – 4y + 6z – 8 = 0
6x + 4y – 10z – 8 = 0
Сложим оба уравнения:
8x – 4z – 16 = 0
Теперь найдем значение переменной x:
8x – 4z – 16 = 0
8x = 4z + 16
x = (4z + 16) / 8
x = z/2 + 2
Подставим найденное значение x в одно из начальных уравнений, например, в первое:
z/2 + 2 – 2y + 3z – 4 = 0
(1/2)z – 2y + 3z – 2 = 0
(7/2)z – 2y – 2 = 0
Теперь найдем значение переменной y, подставив это уравнение во второе начальное уравнение:
3x + 2y – 5z – 4 = 0
3(z/2 + 2) + 2y – 5z – 4 = 0
(3/2)z + 6 + 2y – 5z – 4 = 0
2y – (3/2)z + 2 = 0
2y = (3/2)z – 2
y = (3/4)z – 1
Итак, мы получили параметрическое задание найденной плоскости:
x = z/2 + 2
y = (3/4)z – 1
Также нам даны две точки на этой плоскости:
N1 = (-2, 3, -4)
N2 = (3, 2, -5)
Для нахождения вектора нормали к плоскости возьмем разность координат этих двух точек:
N = N2 – N1
N = (3 – (-2), 2 – 3, (-5) – (-4))
N = (5, -1, -1)
Итак, ответ:
1) Плоскость задается уравнением x = z/2 + 2, y = (3/4)z – 1
2) Вектор нормали к этой плоскости: N = (5, -1, -1)