Дана кубическая функция Y = x^5 – 6x. Найдем ее экстремумы и интервалы возрастания или убывания.
Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x, чтобы определить точки, где производная равна нулю или не существует.
dY/dx = 5x^4 – 6
Шаг 2: Решим уравнение dY/dx = 0:
5x^4 – 6 = 0
Шаг 3: Решим полученное уравнение для нахождения корней:
5x^4 = 6
x^4 = 6/5
x = ±(6/5)^(1/4)
x ≈ ±1.162
Шаг 4: Чтобы определить характер экстремума в найденных точках, найдем вторую производную функции Y:
d^2Y/dx^2 = 20x^3
Шаг 5: Подставим найденные значения x во вторую производную:
d^2Y/dx^2 ≈ 20(1.162)^3 ≈ 37.51
d^2Y/dx^2 ≈ 20(-1.162)^3 ≈ -37.51
Шаг 6: Из значений второй производной видно, что в точках ±1.162 функция Y достигает экстремумов:
– В точке x ≈ 1.162 функция Y достигает минимума.
– В точке x ≈ -1.162 функция Y достигает максимума.
Шаг 7: Определим интервалы возрастания или убывания функции Y с помощью анализа первой производной:
– Если x < -1.162, то dY/dx < 0, и функция Y убывает.
- Если -1.162 < x < 1.162, то dY/dx > 0, и функция Y возрастает.
– Если x > 1.162, то dY/dx < 0, и функция Y убывает.
Таким образом, мы нашли экстремумы функции Y и интервалы возрастания/убывания.