Исходное уравнение имеет вид: y’ = (1/2)ln(tan(x/2)) – (1/2)cos(x)/(sin(x))^2.
Шаг 1: Заменим tan(x/2) на sin(x)/(1+cos(x)) с использованием тригонометрической формулы половинного угла.
y’ = (1/2)ln(sin(x)/(1+cos(x))) – (1/2)cos(x)/(sin(x))^2.
Шаг 2: Упростим выражение в логарифме с помощью свойств логарифма.
y’ = (1/2)[ln(sin(x)) – ln(1+cos(x))] – (1/2)cos(x)/(sin(x))^2.
Шаг 3: Используем свойство разности логарифмов, чтобы упростить дробь.
y’ = (1/2)ln(sin(x)) – (1/2)ln(1+cos(x)) – (1/2)cos(x)/(sin(x))^2.
Шаг 4: Раскроем логарифмы, чтобы упростить выражение.
y’ = (1/2)[ln(sin(x)) – ln(1+cos(x))] – (1/2)[cos(x)/(sin(x))^2].
Шаг 5: Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно.
a) ln(sin(x)) – ln(1+cos(x)). Мы можем объединить эти два логарифма в один, используя свойство частного логарифмов.
ln(sin(x)/(1+cos(x))).
b) cos(x)/(sin(x))^2. Это можно переписать как cos(x)/sin^2(x).
Шаг 6: Объединим результаты из шагов 5a и 5b.
y’ = (1/2)ln(sin(x)/(1+cos(x))) – (1/2)cos(x)/sin^2(x).
Шаг 7: Запишем итоговый результат.
y’ = (1/2)ln(sin(x)/(1+cos(x))) – (1/2)cos(x)/sin^2(x).
Ответ: y’ = (1/2)ln(sin(x)/(1+cos(x))) – (1/2)cos(x)/sin^2(x).