Да, множество двухмерных векторов является метрическим пространством с данной метрикой.
Шаги решения:
1. Для того чтобы проверить, что заданное множество со сформулированным вопросом является метрическим пространством, необходимо проверить выполнение всех трех аксиом метрического пространства: неотрицательность, равенство нулю только между одними и теми же элементами и симметричность.
2. Проверка неотрицательности: для любых двух векторов (x1, x2) и (y1, y2) метрика p((x1, x2), (y1, y2)) определена как куб кубического корня из суммы модулей разностей координат. Так как все модули разностей неотрицательны, то и их сумма тоже неотрицательна. Возведение в куб не меняет знак, поэтому p((x1, x2), (y1, y2)) также неотрицательна.
3. Проверка равенства нулю только между одними и теми же элементами: для двух разных векторов (x1, x2) и (y1, y2) мы можем найти хотя бы одно отличающееся значение координаты, например, x1 != y1. В этом случае модуль разности этих значений будет положительным, а значит и сумма модулей разностей в метрике p((x1, x2), (y1, y2)) будет положительной. Возведение положительного числа в любую степень, включая куб, дает положительный результат. Следовательно, метрика не равна нулю для разных векторов.
4. Проверка симметричности: для любых двух векторов (x1, x2) и (y1, y2) значение модуля разности координат в метрике p((x1, x2), (y1, y2)) не зависит от порядка этих векторов. Поскольку возводится в куб, знак значения модуля разности также не меняется. Таким образом, метрика p((x1, x2), (y1, y2)) симметрична.
Таким образом, все три аксиомы метрического пространства выполняются, и множество двухмерных векторов с заданной метрикой является метрическим пространством.