На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
1) Область определения:
Выражение в знаменателе функции не может быть равно нулю, поэтому x+2 ≠ 0, откуда x ≠ -2. Таким образом, областью определения функции является все вещественные числа, кроме -2.
2) Асимптоты:
Найдем асимптоты функции. Для этого рассмотрим пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности и минус бесконечности:
При x → +∞:
lim (x->∞) (x²-2x+3)/(x+2) = lim (x->∞) (x²/x + 3/x)/(1 + 2/x)
= lim (x->∞) (x – 2)/1 = +∞
Значит, у функции есть горизонтальная асимптота y = +∞ при x → +∞.
При x → -∞:
lim (x->-∞) (x²-2x+3)/(x+2) = lim (x->-∞) (x²/x + 3/x)/(1 + 2/x)
= lim (x->-∞) (x – 2)/1 = -∞
Значит, у функции есть горизонтальная асимптота y = -∞ при x → -∞.
3) Четность/нечетность, периодичность:
Рассмотрим функцию и заметим, что и числитель, и знаменатель являются четными функциями.
(x²-2x+3) — четная функция, так как при замене x на -x она сохраняет свой вид: (-x)² – 2(-x) + 3 = x² + 2x + 3.
(x+2) — также четная функция, так как при замене x на -x она сохраняет свой вид: -x + 2.
Получаем, что функция y=(x²-2x+3)/(x+2) является четной функцией.
4) Экстремумы и промежутки монотонности:
Вычислим производную функции:
y'(x) = (2x(x+2) – (x²-2x+3))/(x+2)² = (2x²+4x – x²+2x-3)/(x+2)² = (x²+6x-3)/(x+2)².
Равенство y'(x) = 0 дает нам точку, в которой производная равна нулю:
(x²+6x-3)/(x+2)² = 0
x² + 6x – 3 = 0
Применяя квадратное уравнение, найдем корни:
x₁ = (-6 + √(6² – 4*1*(-3)))/2*1 = (-6 + √48)/2 = (-6 + 4√3)/2 = -3 + 2√3 ≈ 0.464
x₂ = (-6 – √(6² – 4*1*(-3)))/2*1 = (-6 – √48)/2 = (-6 – 4√3)/2 = -3 – 2√3 ≈ -6.464
Таким образом, у функции есть одна точка экстремума: x ≈ 0.464.
Изучим знак производной на интервалах:
Интервал (-∞; -2):
y'(-3) = (9 + 6*(-3) – 3)/(-3 + 2)² = (9 – 18 – 3)/(-1) = -12
Отсюда следует, что на интервале (-∞; -2) функция убывает.
Интервал (-2; -3 + 2√3):
y'(-1) = (1 + 6*(-1) – 3)/(-1 + 2)² = (1 – 6 – 3)/(1) = -8
Следовательно, на интервале (-2; -3 + 2√3) функция также убывает.
Интервал (-3 + 2√3; +∞):
y'(1) = (1 + 6*(1) – 3)/(1 + 2)² = (1 + 6 – 3)/(9) = 4/9
Значит, на интервале (-3 + 2√3; +∞) функция возрастает.
Таким образом, функция монотонно убывает на интервалах (-∞; -2) и (-2; -3 + 2√3), и монотонно возрастает на интервале (-3 + 2√3; +∞).
5) Выпуклость/вогнутость и точки перегиба:
Найдем вторую производную функции:
y”(x) = ((x²+6x-3)'(x+2)² – (x²-2x+3)'(2(x+2)))/(x+2)⁴
= ((2x+6)(x+2)² – (2x-2)(x+2))/(x+2)⁴
= (2x³ + 8x² + 12x + 12x² + 48x + 72 – 2x³ + 8x² – 8x + 4)/(x+2)⁴
= (20x² + 12x + 76)/(x+2)⁴.
Уравнение для определения точек перегиба: y”(x) = 0.
(20x² + 12x + 76)/(x+2)⁴ = 0
Так как знаменатель не равен нулю, то условие равенства нулю числителя:
20x² + 12x + 76 = 0
5x² + 3x + 19 = 0
Дискриминант D = 3² – 4*5*19 = -271 < 0, то есть уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, у функции нет точек перегиба.
6) Пересечения с осями:
Для нахождения точек пересечения с осями координат решим уравнение y(x) = 0:
(x²-2x+3)/(x+2) = 0
x²-2x+3 = 0
Дискриминант D = (-2)² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 < 0, то есть уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, у функции нет пересечений с осями координат.
7) Знаки постоянства:
Возьмем произвольную точку из каждого интервала и подставим ее в функцию, чтобы определить знак функции на каждом интервале:
На интервале (-∞; -2): y(-3) = (9 + 6*(-3) - 3)/(-3 + 2)² = -12, значит, функция отрицательна.
На интервале (-2; -3 + 2√3): y(-1) = (1 + 6*(-1) - 3)/(-1 + 2)² = -1/9, значит, функция положительна.
На интервале (-3 + 2√3; +∞): y(1) = (1 + 6*(1) - 3)/(1 + 2)² = 4/9, значит, функция положительна.
Таким образом, для функции y=(x²-2x+3)/(x+2) знаки постоянства следующие:
Отрицательная на интервале (-∞; -2)
Положительная на интервале (-2; -3 + 2√3) и на интервале (-3 + 2√3; +∞).
8) Построение графика:
Построить график функции можно, используя полученную информацию об асимптотах, отсутствии пересечений с осями координат, монотонности и выпуклости/вогнутости. Кроме того, можно выбрать несколько точек и подставить их в функцию, чтобы получить значения y, чтобы уточнить форму графика. Однако, без конкретных численных значений строить точное положение всех участков графика достаточно сложно.
