На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
1) Найдем область определения функции. Для этого нужно исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель (x-2)^2-9 равен нулю при x=5 и x=-1, так как (5-2)^2-9=0 и (-1-2)^2-9=0. Таким образом, область определения функции y=(x-2)^3/(x-2)^2-9 – множество всех действительных чисел, кроме x=5 и x=-1.
2) Исследуем функцию на четность/нечетность. Для этого заменим x на -x в исходной функции. Получим y=(-x-2)^3/(-x-2)^2-9. Если функция полученная после замены x на -x равна исходной функции с изменением знака, то функция является четной, если равна исходной функции без изменения знака, то функция является нечетной. В данном случае, после замены x на -x, функция не равна исходной. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Периодичность функции. Для определения периодичности нужно найти такое положительное число T, что при добавлении его к аргументу функции x она сохраняет свое значение. В данном случае функция не зависит от T и не имеет периода.
4) Находим точки пересечения с осями координат, подставляя x=0, x=5 и x=-1 в исходную функцию. При x=0 получаем y=8/(-9), при x=5 и x=-1 получаем undefined (так как в данных точках функция не определена).
5) Находим критические точки и промежутки возрастания/убывания функции. Для этого находим производную функции y'(x) и приравниваем ее к нулю: y'(x) = (2(x-2)-(x-2)^2(3))/(x-2)^4-9′ = (2x-4-3(x-2))/(x-2)^4-9 = (2x-4-3x+6)/(x-2)^4-9 = (4-x)/(x-2)^4-9. Находим значения x, при которых производная равна нулю: (4-x)/(x-2)^4-9 = 0. Решая это уравнение, находим единственное значение x=4. Теперь строим таблицу знаков производной и находим промежутки возрастания/убывания функции. Проверяем значения производной между значениями x=-∞, 2, 4, 5, +∞. Находим, что функция возрастает на интервале (-∞, 2) и убывает на интервале (2, 4) и (4, +∞).
6) Находим точки перегиба, приравнивая к нулю вторую производную функции. Но в данном случае у нас нет второй производной, значит, нет точек перегиба.
7) Исследуем поведение функции на бесконечности и в окрестности предполагаемых точек разрыва. Так как функция не зависит от T и не имеет периода, то поведение функции на бесконечности не меняется. Предполагаемые точки разрыва функции – x=5 и x=-1. Проверим, что значение функции в окрестности этих точек отличается от значения при самой точке. В данном случае при x=5 и x=-1 функция не определена, так как в этих точках знаменатель равен нулю. Значит, функция имеет разрывы в этих точках.
8) Находим наклонные асимптоты. Первой наклонной асимптотой является горизонтальная прямая y=c, где c – предел функции при x->±∞. В данном случае, предел функции при x->±∞ не существует, значит нет горизонтальной наклонной асимптоты. Вторая наклонная асимптота является прямой y=kx+b, где k и b находим, приравнивая значение функции при x->±∞ к уравнению наклонной асимптоты. В данном случае, уравнение наклонной асимптоты определить нельзя, так как предел функции при x->±∞ не существует. Значит, нет наклонных асимптот.
Таким образом, мы исследовали данную функцию на основные характеристики и определили, что она не является ни четной, ни нечетной, не имеет периода, имеет точки пересечения с осями координат в точке (0, -8/9), разрывы функции в точках x=5 и x=-1, промежутки возрастания на интервале (-∞, 2) и убывания на интервале (2, 4) и (4, +∞), а также что у функции нет точек перегиба и наклонных асимптот.
